Das Ding mit dem expo­nen­tiellen Wachs­tum

Einer der großen Fallstricke in Pandemiephasen war das Verständnis für „exponentielle Entwicklung“. Denn mit dem exponentiellen Wachstum hat der alltagsgeschulte Geist so seine liebe Not – dies illustriert nicht nur die Coronakrise. Im Gegensatz zu einem linearen Wachstum, wo eine Zahl langsam und stetig zunimmt, verläuft die Kurve beim exponentiellen Wachstum lange flach - um nach einiger Zeit explosionsartig zu steigen.

Salzburger Forscher zeigen jetzt, dass eine andere Form der Darstellung beim Verständnis helfen kann. Erklären lässt sich der Unterschied zum linearen Wachstum an einem einfachen Beispiel: Geschwister vereinbaren mit ihren Eltern eine Erhöhung ihres monatlichen Taschengelds von 10 EUR. Der Bruder entscheidet sich für eine monatliche Erhöhung um 1 EUR – dies entspricht einem linearen Wachstum. Die Schwester hingehen entscheidet sich für eine monatliche Erhöhung um 10% - was ein exponentielles Wachstum entspricht.

Ein Beispiel aus dem Alltag

Nach einem halben Jahr zeigen sich hier noch kaum Unterschiede. Der Bruder erhält 15 EUR, die Schwester 16 EUR. Nach einem Jahr ist der Unterschied schon deutlicher: der Bruder hat 21 EUR, die Schwester bereits 28 EUR. Nach zwei Jahren erhält das Mädchen schon fast 90 EUR, der Bub lediglich 33 EUR.

Nach dem gleichen Prinzip läuft es auch bei Epidemie-/Pandemien ab. Hier kommt nicht jeden Tag eine fixe Anzahl an Neuinfizierten dazu. So erhöht sich in der Wachstumsphase täglich die Anzahl der Infizierten, von denen kann wiederum jeder einzelne mehrere Personen anstecken und jeder davon ebenfalls wiederum mehrere weitere. Umgelegt auf eine Verlaufskurve kommt es an einem gewissen Punkt zu einem markanten Knick nach oben und die Fallzahlen schnellen „aus heiterem Himmel“ extrem hinauf. Das liegt in der Natur eines ungebremsten exponentiellen Wachstums. Deshalb ist es vor allem für mathematisch-statistisch ungeübte Menschen besonders am Anfang einer solchen Entwicklung schwierig, den weiteren Verlauf einer solchen Grafik halbwegs verlässlich einzuschätzen. Man geht nämlich instinktiv davon aus, dass die Kurve nicht plötzlich stark nach oben ausbricht.

Logarithmisch-skalierte anstatt linerarer Darstellung

Ein Forschungsteam um die Psychologen Florian Hutzler und Stefan Hawelka von der Universität Salzburg ging in einer nun im Fachblatt "Royal Society Open Science" erschienenen Studie der Frage nach, ob sich die Einschätzung der Betrachter verbessert wird, wenn die Darstellung geändert wird. Neben der klassischen linearen Darstellung setzten sie auf logarithmisch-skalierte Grafiken mit denselben Daten. Bei ersteren steigen die auf der y-Achse aufgetragenen Fallzahlen in den bekannten gleichbleibenden Schritten - also etwa in Tausender-Schritten. Bei der logarithmischen Darstellung kommt zuerst der Sprung von null auf zehn, dann folgt im gleichen Abstand auf der Grafik schon der Sprung auf 100 und dann auf 1.000. Je der Hälfte der insgesamt 122 Versuchspersonen legten sie derart verschieden gestalteten Grafiken vor, die Verläufe von fiktiven Epidemien über die ersten 20 Tage abbildeten. Die Teilnehmer sollten dann schätzen, wie hoch die fortgeschriebenen Infiziertenzahlen nach 30 Tagen liegen.

"Der Clou dabei ist, dass in der logarithmischen Grafik aus der für uns nicht greifbaren Exponentialfunktion eine gerade Linie wird. Der Anstieg wird damit deutlich sichtbar", so Hutzler und Hawelka in einer Aussendung der Uni Salzburg. 

Jene Testpersonen, die diese Darstellung sahen, konnten geistig diese gerade Linie weiterdenken und "kommen hiermit zu ziemlich zielsicheren Vorhersagen." Das galt vor allem für Zuwachsraten in jenen Bereichen wie sie in etwa bei der COVID-19-Pandemie auftraten, schreiben die Wissenschaftler in ihrer Arbeit. Gerade in frühen Phasen einer solchen Entwicklung scheine die logarithmische Darstellungsform es Bürgern oder auch Politikern zu erleichtern, mit ihrer Einschätzung intuitiv richtiger zu liegen. Bahnt sich also eine weitere Erkrankungswelle an, könne dies so nachvollziehbarer dargestellt und kommuniziert werden.

Quelle: APAMED

Und mein Beispiel aus der Kindheit

Ich selbst hab das exponentielles Wachstum von meinem Vater in den 80´ern so erklärt bekommen: 

Man nehme in Schachbrett und platziere ein Reiskorn auf einem Eckfeld. Dann verdopple man auf jedem weiteren Feld die Anzahl der Reiskörner. Am 3. Feld liegen also vier, dann acht, dann 16 Reiskörner - und so weiter. 

Ich erinnere mich heute noch, wie schwer es mir fiel, mir die Zahl vorzustellen, die sich dadurch auf Feld 64 ergibt: Es sind 18.446.744.073.709.551.615. In Worten: 18 Trillionen, 446 Billiarden, 744 Billionen, 39 Milliarden, 484 Millionen, 29 Tausend, 952 Reiskörner. Und ganz ehrlich: ich kanns mir auch heute noch nicht vorstellen, wie dieser Reisberg aussehen würde...

Ich hab mir das "Experiment" bis heute gemerkt - wahrscheinlich deshalb, weil meinem Vater die Reiskörner nach wenigen Feldern ausgingen...!